Travaux de groupes

Le sens du travail de groupe

Il apparaît pour certains que les mathématiques sont figées et immuables !
Peut-être cela est-il dû à la grande rigueur dont il faut faire preuve lorsqu’on pratique les mathématiques ?
Pourtant, le nombre de publications annuelles (on parle de 350 000 nouveaux théorèmes par année !) dément largement cette impression, et permet d’observer que les champs d’investigation sont vastes et laissent beaucoup de place à des développements futurs.
Il faut être bien conscient que le mathématicien - ou plus souvent le groupe de mathématiciens - qui travaillent ensemble à résoudre un problème aura d'abord passé bien du temps à essayer, discuter, renoncer, recommencer, … jusqu'à arriver (peut-être !) à un résultat.
Comment alors faire passer cette idée dans les cours ce mathématiques ?

Il s’agit d’abord de clarifier ce qu’on entend par « problème » ; il existe en effet :

des problèmes qui ont été posés par la communauté mathématique (ou qui ont été posés à la communauté, selon le point de vue philosophique que l’on adopte !) et pour lesquels il n’y a pas encore de solution.
Exemple : voir les sept problèmes pour lesquels on propose un prix de un million de dollars pour celui qui trouvera une des réponses ! (voir http://www.claymath.org/millennium/);
des problèmes célèbres pour lesquels des solutions n’ont été trouvées que récemment, solutions qui sont en général incompréhensibles sauf pour quelques mathématiciens spécialistes du domaine.
Exemples : le théorème des quatre couleurs (voir par exemple http://www.univ-lr.fr/formations/idea/duCultureMath/graphes/chapitre04/cours/chapitre04_1.htm) ou le théorème de Fermat (voir par exemple http://www.cnrs.fr/Cnrspresse/math2000/html/math09a.htm);
des problèmes que la communauté des mathématiciens sait parfaitement résoudre, mais pas forcément le commun des mortels !
Exemples : le théorème de Pythagore, la recherche des solutions d’une équation du 2^ème degré, les extrema d'une fonction, le théorème fondamental du calcul intégral et différentiel, etc.

Il est bien clair que dans le contexte de nos travaux de groupe, nous ne traiterons que des problèmes du dernier type !

Buts

Les objectifs de cette démarche sont multiples :

prendre conscience que les mathématiques ne sont pas une collection de techniques fermées et inamovibles, mais vivent, se développent, produisent parfois des erreurs sur lesquelles on pourra s’appuyer pour mieux les comprendre
apprendre à utiliser un langage oral et écrit précis et clair pour faire comprendre à d'autres personnes ses idées et sa démarche de la façon la plus efficace possible
apprendre à argumenter lorsqu'on affirme quelque chose
apprendre à écouter les autres
participer à la construction de son savoir et non se contenter de le recevoir "passivement"

Déroulement

Il s'agira le plus souvent de mener une réflexion à partir d'énoncés qui nous permettront d'introduire une problématique puis de commencer à construire ensemble une solution. Dans une telle démarche, on n’aura pas nécessairement des réponses toutes faites aux questions posées; il s’agira parfois de revenir à plusieurs reprises sur certaines idées afin d’augmenter peu à peu la compréhension et la vision de l’objet ou de la question étudié.

De plus, très souvent, un premier problème résolu (ou pas !) conduira à se poser d'autres questions qui elles-mêmes induiront de nouvelles réflexions, et ainsi de suite. Il faut voir le processus de recherche comme une ouverture à des discussions enrichissantes qui permettent de mieux comprendre le sujet étudié plutôt que comme un exercice "fermé", clairement délimité dans le temps et dans le type de notions traitées.

Concrètement, il s’agit de :

lire pendant 5 minutes le problème reçu et commencer à y réfléchir individuellement
former les groupes constitués par le maître; discuter, partager, écouter, proposer des démarches pour résoudre le problème, ceci en communiquant avec ses pairs en justifiant ses arguments, afin d'avancer ensemble dans la résolution du problème
produire (pour chaque groupe) sur la ou les acétates fournies un rapport final écrit qui résume les recherches effectuées et/ou les exercices travaillés
préparer une présentation orale à l'ensemble de la classe le travail du groupe ; un ou plusieurs membres de chaque groupe est tiré au sort dans ce but.
Cette dernière étape peut être facultative (selon indication du maître).

Remarque essentielle

L'ensemble de ce qui se fait et se dit lors d'un travail de groupe fait partie intégrante du cours !

En particulier, il s'agit là d'une préparation importante pour les épreuves, dans la mesure où celles-ci ne visent pas seulement à tester les techniques exercées pendant le cours, mais portent également sur la compréhension et la mise en situation des notions.

Critères d'évaluation

Sauf disfonctionnement majeur, chaque groupe obtient une note égale pour tous ses membres; dans cette note, il est tenu compte :

de la participation de tous les membres du groupe
de la qualité de l'éventuelle présentation écrite
de la clarté et de la pertinence de l’argumentation pour la validation ou rejet des conjectures (étant bien entendu qu’il n’existe pas en général de méthode unique)
des résultats obtenus (mais de façon secondaire)
de la qualité des explications et de la présentation orales
de la capacité de tous les membres du groupe à écouter les autres élèves